加算覆面算の数え上げ
概要
覆面算は，異なる文字に異なる数字(0-9の一つ)を割り当て，加算が成り立つようにする問題である．なお，2桁以上の場合，最上位は0にできない．また，当然，唯一解(ちょうど一つの解)の問題が対象となる．
以下は，有名なSEND+MORE=MONEYの問題である．
問題 SEND + MORE = MONEY 解答 9567 + 1085 = 10652
覆面算では，同じ文字か異なる文字かということだけが意味を持つ．したがって S→A, E→B, N→C, D→D, M→E, O→F, R→G, Y→H のように文字を置き換えても同一の問題である．
置換前 SEND + MORE = MONEY 置換後 ABCD + EFGB = EFCBH
また「MORE+SEND=MONEY」も同一の問題と考えることができる．ここで M→A, O→B, R→C, E→D, S→E, N→F, D→G, Y→H のように文字を置き換えても同一の問題である．
置換前 MORE + SEND = MONEY 置換後 ABCD + EDFG = ABFDH
最初の「ABCD+EFGB=EFCBH」と次の「ABCD+EDFG=ABFDH」を見ると，後者のほうが辞書順で前になる．
そこで，「ABCD+EDFG=ABFDH」を「SEND+MORE=MONEY」の標準形の問題とみなし，標準形の唯一解の問題がいくつ存在するかを数え上げる．
唯一解の加算覆面算の個数
第1項が1桁の場合
「1桁+1桁=1桁」の問題は，以下の4通りがある．
A+A=A A+A=B A+B=B A+B=C
そのうち，唯一解になる問題は「A+A=A」のみの一通りである．
| 第1項の 桁数 | 第2項の 桁数 | 和の 桁数 | 問題の 総数 | 唯一解の 問題数 | 備考 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 4 | 1 | A+A=A (0+0=0) |
| 1 | 1 | 2 | 11 | 1 | A+B=AC (1+9=10) |
| 1 | 2 | 2 | 52 | 1 | A+BA=AB (9+89=98) |
| 1 | 2 | 3 | 203 | 6 | A+AA=BCD (9+99=108) など |
| 1 | 3 | 3 | 877 | 16 | A+ABA=AAB (9+989=998) など |
| 1 | 3 | 4 | 4140 | 6 | A+AAA=BCCD (9+999=1008) など |
| 1 | 4 | 4 | 21147 | 75 | A+AABA=AAAB (9+9989=9998) など |
| 1 | 4 | 5 | 115975 | 6 | A+AAAA=BCCCD (9+9999=10008) など |
| 1 | 5 | 5 | 678569 | 301 | A+AAABA=AAAAB (9+99989=99998) など |
| 1 | 5 | 6 | 4213530 | 6 | A+AAAAA=BCCCCD (9+99999=100008) など |
| 1 | 6 | 6 | 27641927 | 1179 | A+AAAABA=AAAAAB (9+999989=999998) など |
ただし，「1桁+7桁=7桁」，「1桁+8桁=8桁」等について，唯一解の問題数は不明である．
第1項が2桁の場合
| 第1項の 桁数 | 第2項の 桁数 | 和の 桁数 | 問題の 総数 | 唯一解の 問題数 | 備考 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 2 | 117 | 0 | |
| 2 | 2 | 3 | 487 | 40 | AA+AA=BAC (99+99=198) など |
| 2 | 3 | 3 | 4140 | 79 | AA+AAB=CBA (55+550=605) など |
| 2 | 3 | 4 | 21147 | 192 | AA+AAA=BCAD (99+999=1098) など |
| 2 | 4 | 4 | 115975 | 976 | AA+AAAB=ACBA (55+5550=5605) など |
| 2 | 4 | 5 | 678569 | 192 | AA+AAAA=BCCAD (99+9999=10098) など |
| 2 | 5 | 5 | 4213530 | 4950 | AA+AAAAB=AACBA (55+55550=55605) など |
| 2 | 5 | 6 | 27641927 | 192 | AA+AAAAA=BCCCAD (99+99999=100098) など |
| 2 | 6 | 6 | 190829797 | 23460 | AA+AAAAAB=AAACBA (55+555550=555605) など |
第1項が3桁の場合
| 第1項の 桁数 | 第2項の 桁数 | 和の 桁数 | 問題の 総数 | 唯一解の 問題数 | 備考 |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 3 | 3 | 10848 | 187 | AAA+AAB=BCD (444+448=892) など |
| 3 | 3 | 4 | 59047 | 2401 | AAA+AAA=BAAC (999+999=1998) など |
| 3 | 4 | 4 | 678569 | 16444 | AAA+AAAB=ABCD (444+4448=4892) など |
| 3 | 4 | 5 | 4213530 | 24314 | AAA+AAAA=BCAAD (999+9999=10998) など |
| 3 | 5 | 5 | 27641927 | 238173 | AAA+AAAAB=AABCD (444+44448=44892) など |
| 3 | 5 | 6 | 190829797 | 24314 | AAA+AAAAA=BCCAAD (999+99999=100998) など |
| 3 | 6 | 6 | 1381367941 | 1560325 | AAA+AAAAAB=AAABCD (444+444448=444892) など |
第1項が4桁の場合
| 第1項の 桁数 | 第2項の 桁数 | 和の 桁数 | 問題の 総数 | 唯一解の 問題数 | 備考 |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 4 | 4 | 2113922 | 47404 | AAAA+AAAB=BBCD (4444+4448=8892) など |
| 4 | 4 | 5 | 13853391 | 564427 | AAAA+AAAA=BAAAC (9999+9999=19998) など |
| 4 | 5 | 5 | 190829797 | 7291425 | AAAA+AAAAB=ABBCD (4444+44448=48892) など |
| 4 | 5 | 6 | 1381367941 | 7349936 | AAAA+AAAAA=BCAAAD (9999+99999=109998) など |
10数字のすべてが出現する最小の唯一解の問題
10数字のすべてが出現する唯一解の問題のうち，合計の桁数が最も小さいのは，「3桁+4桁=5桁」の場合で以下の8通りである．
ABA+BCDE=FGHIJ (393+9864=10257) ABA+CDCE=FGHIJ (363+9894=10257) ABC+BCDE=FGHIJ (893+9364=10257) ABC+BDEA=FGHIJ (394+9863=10257) ABC+BDED=FGHIJ (894+9363=10257) ABC+DCDE=FGHIJ (863+9394=10257) ABC+DEDA=FGHIJ (364+9893=10257) ABC+DEDE=FGHIJ (864+9393=10257)
