素数ものさし (その2)

パズル 整数

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京大生協で，目盛が素数だけの「素数ものさし」が売っているそうだ．

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         2 3   5   7      11  13      17

この定規は，1cmから18cmまでを測ることができる．
他にこのような定規があるだろうか?
昨日の素数ものさし (その1) では目盛数が最小になる場合だけを調べた．今回は，目盛数最小にこだわらず探してみる．

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他の「素数ものさし」

1000未満の素数を用いて調べた所，以下の「素数ものさし」が見つかった．いずれも 1cm から定規の長さまでを 1cm きざみで測ることができる．
定規の長さは 素数+1 cm になることに注意する．なぜなら最初の目盛が 2cm なので，定規の長さ-1 cm を測るためには，その場所に目盛がなければならない．

長さ 目盛
3 2
4 2, 3
6 2, 3, 5
8 2, 3, 5, 7
12 2, 3, 5, 7, 11
14 2, 3, 5, 7, 11, 13
18 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
20 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
24 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
30 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
32 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31
38 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37
44 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43
62 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61

すなわち，37 以下の素数について，その値+1 の長さの「素数ものさし」が存在し，その他は 44cm と 62cm の長さの「素数ものさし」が存在する．
また，長さ 42cm, 48cm, 54cm, 60cm の「素数ものさし」は存在しなかった．

  • 42cm, 48cm, 54cm の場合 33cm を測ることができない．
  • 60cm の場合 25cm と 33cm を測ることができない．

68cm 以上 998cm 以下の「素数ものさし」も存在しなかった．

  • 68cm 以上 998cm 以下で 422cm 以外の「素数ものさし」は， 25cm か 33cm か 49cm のいずれかを測ることができなかった．
  • 422cm の場合， 93cm, 117cm, 119cm などを測ることができない．

なお，上記の「素数ものさし」で目盛のいくつかは除くことができる．たとえば 18cm の場合，7cmの目盛を除いてもすべての長さを測れるし， 13cmの目盛を除いても良い．どれを除くかで，同じ長さでも複数の「素数ものさし」を作れる．これら以外には「素数ものさし」は存在しないと思われる．