素数ものさし (その3)

パズル 整数

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京大生協で，目盛が素数だけの「素数ものさし」が売っているそうだ．

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         2 3   5   7      11  13      17

この定規は，1cmから18cmまでを測ることができる．
他にこのような定規があるだろうか?
一昨日の素数ものさし (その1) では目盛数が最小になる場合だけを調べた．また，昨日の素数ものさし (その2) では目盛数最小にこだわらず，より長いものまで探したが，余分な目盛が含まれていた．
今回は，余分な目盛を含んでいない最適な「素数ものさし」を探す．

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最適な「素数ものさし」

1000未満の素数を用いて調べた所，以下の最適な「素数ものさし」が見つかった．いずれも 1cm から定規の長さまでを 1cm きざみで測ることができ，どの目盛も必要で，余分な目盛は含まれていない．

長さ 目盛数 目盛
3 1 2
4 2 2, 3
6 2 2, 5
8 3 2, 3, 7
12 5 2, 3, 5, 7, 11
14 5 2, 3, 7, 11, 13
14 5 2, 3, 5, 7, 13
18 6 2, 3, 5, 11, 13, 17
18 6 2, 3, 5, 7, 11, 17
20 6 2, 3, 7, 11, 17, 19
20 7 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19
20 7 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19
24 8 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23
24 7 2, 3, 5, 7, 11, 17, 23
30 8 2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 29
32 8 2, 3, 7, 13, 17, 23, 29, 31
32 9 2, 3, 7, 11, 17, 19, 23, 29, 31
38 10 2, 3, 5, 7, 13, 19, 23, 29, 31, 37
44 11 2, 3, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 37, 41, 43
44 11 2, 3, 5, 7, 11, 19, 23, 29, 31, 37, 43
44 11 2, 3, 5, 11, 13, 19, 23, 29, 37, 41, 43
44 11 2, 3, 7, 11, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43
44 11 2, 3, 5, 11, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43
44 11 2, 3, 7, 11, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 43
44 11 2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 43
62 14 2, 3, 7, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 61
62 14 2, 3, 7, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61
62 14 2, 3, 7, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 61

これら以外に最適な「素数ものさし」は存在しないと思われる．